Griechisches Altertum Wunder Rätsel gw-06

PYTHAGORAS
(im Rätselschatz auf Blogspot Com)
Mathematik als Wissenschaft

Auszüge aus dem ersten  Kapitel aus : Von Pythagoras bis Hilbert
von Egmont Colerus

Teil 6

Quelle: Egmont Colerus, Von Pythagoras bis Hilbert, Die Epochen der Mathematik und ihre Baumeister, Geschichte der Mathematik für jedermann, 1948, Paul Zsolnay Verlag, Berlin, Wien, Leipzig.
Für dieses Blog mit PC-Text Korrektur aktualisiert von Transitenator.

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"Nach dieser pythagoreischen Formel findet man leicht für n = l das ägyptische und für n = 2 das indische Dreieck.

Dass Pythagoras auch wusste, dass er jede dieser Zahldreiheiten mit beliebigen ganzen Zahlen vervielfachen durfte, ohne die Ganzzahligkeit der Lösung zu beeinträchtigen, ist mehr als wahrscheinlich, da die einfachste Zeichnung lehrt, dass sich am Wesen der Figur durch Verdopplung, Verdreifachung usf. der Einheitsstrecke nichts ändert.

Etwa (3 • 3) hoch 2 + (3 • 4) hoch 2 = (3 • 5) hoch 2 ergibt wieder ein ganzzahliges rechtwinkliges Dreieck, da 81 + 144 = 225 die Richtigkeit zeigt.

Wie nun, so fragen wir uns, hat Pythagoras unbestimmte Gleichungen behandelt, die ihm die erwähnten Lösungen lieferten? War er etwa schon im Besitze einer Buchstabenrechnung? Oder hat er seine Weisheit von der ägyptischen Haufen-Rechnung entlehnt?

Die zweite Möglichkeit besteht, die erste ist unbedingt abzulehnen.

Es besteht aber noch eine dritte Möglichkeit, mit der wir uns aus sehr wichtigen Gründen eingehend auseinander setzen müssen. Es wird nämlich berichtet, dass schon Pythagoras und die Pythagoreer die Kunst des 'Anlegens' geübt hätten, dass ihnen alle drei Methoden des parabolischen, elliptischen und hyperbolischen Anlegens geläufig gewesen seien.

Wir dürfen — dies sei festgestellt — hier noch durchaus nicht an die uns bekannten Kurven-Begriffe von Parabel, Ellipse und Hyperbel denken. Viel später, wie wir noch sehen werden, hat sich dieser Kurvenbegriff bei Apollonios von Pergä aus dem entwickelt, was hier in Rede steht.

Aber so weit sind wir vorläufig noch nicht. Die Kunst des Anlegens war vielmehr etwas, was sich auf griechischem Boden eigentümlich entwickelte, eine Verwandlungskunst, eine Kunst, Figuren der Geometrie in andre Figuren gleichen Flächeninhaltes zu verwandeln.

Neuere Forscher der Mathematikgeschichte haben diese Betätigung treffend als 'geometrische Algebra' bezeichnet (vor allem Zeuthen (Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter).

Und diese 'Algebra' ermöglicht es tatsächlich, in verkappter Art Gleichungen bis zum so genannten zweiten oder gemischt quadratischen. Grad zu lösen.

Es würde weit über, unseren Rahmen hinaus führen, diese Kunst eingehend zu erörtern, da sie als Gleichungsmethode ausschließlich auf die hellenische Mathematik beschränkt blieb. Es obliegt uns aber gleichwohl, wenigstens ein einfaches Beispiel (eine parabolische Flächenanlegung) zu zeigen und zu erläutern.

Dass man sich die Multiplikation als Rechteck denken kann, ist klar. Das Produkt aus a und b ist a mal b und dieses Produkt ist gleich der Fläche eines Rechteckes mit den Seiten a und b.
Es ergibt sich daraus auch die Umkehrbarkeit (Kommutativität) der Multiplikation, denn die Fläche des Rechtecks ist natürlich auch b mal a, wie der Augenschein und ein reihenweises Auszählen der Einheitsquadrate lehrt.

Manfrau kann sogar die Lösung komplizierterer Aufgaben versuchen. Teilt man nämlich die beiden Seiten des Rechteckes (oder besser, stellt man sie als Summen dar), so findet man, dass (a + b) mal (c + d) gleich ist ac + bc + ad + bd.
Manfrau braucht bloß in den Teilungspunkten Parallel-Linien zu den Seiten zu ziehen und den Flächeninhalt der durch diese Hilfslinien neu entstandenen vier Rechtecke abzulesen.

Tatsächlich sagte man, so wie wir heute noch a mal a als a hoch 2 oder 'a zum Quadrat' bezeichnen, für das allgemeine Produkt a mal b in Griechenland stets „Rechteck aus a und b hoch 2).
Ein Produkt aber ist eine neue Zahl, bzw. es kann jederzeit als Zahl aufgefasst werden.

Wir werden allerdings später sehen, dass Vieta und andere neuzeitliche Mathematiker es rügen, dass die Hellenen die Zahlen einmal als Linien und dann wieder als Flächen ansahen. Doch das werden wir später erörtern. Tatsache war es für die Griechen, dass man eine Zahl n, die nur irgendwie teilbar war, als Rechteck der Seiten a und b darstellen konnte. Also n = ab. Nun kann manfrau dieses Rechteck zeichnen. Will manfrau weiters n durch irgendeine Zahl (= Strecke) d dividieren, dann ------."

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Nun verlassen wir Egmont Colerus der sich an Hand einer Skizze noch weiter ins Zahlenland begibt. Lust auf mehr?
Es folgt nur noch ein Abspann:

•1    Rechteck n -ab        h
    E        
    V                                                             . ^x    v               I/    
    Y                                          x-*1    d    
    A,            /        
        Rechteck dq    iq
    ,--'"      A, ^''        
        . _ _  ^ _   _ „.    ,
X    C                                    F        D

Fig. l

Man zieht nämlich auch die Verlängerung d1 zum Punkt B, von dort durch E die Diagonale bis dorthin, wo sie sich mit der Verlängerung von a schneidet. Von diesem Scheitelpunkt G wird nun, parallel mit b, eine Linie bis D gezogen, der ein Schnittpunkt der Verlängerung von a, mit dieser Parallelen ist. Nun ist das ganze neue große Rechteck A B G D durch die Diagonale in zwei gleiche Dreiecke geteilt, die jedes aus einem Rechteck ab, bzw. dq und aus zwei Dreiecken AI un(i A2> bzw. AI' unc^ A2' bestehen. Da die AI un(i Aa mi* AI' un(i A2' el*~ sichtlich gleich sind, ist auch das Rechteck ab gleich dem neuen „angelegten" Rechteck dq.

Wenn aber ab — dq, dann ist —=— = q oder die zu dividierende Zahl bzw.

Tschühüss. :-)

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